5. Il teorema di Gödel

Le 50 più grandi teorie filosofiche in 3 minuti. A. Linguaggio e logica

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Condensato in 3 secondi

Per qualsiasi teoria matematica (sufficientemente solida) esistono affermazioni vere che non possono essere dimostrate dalla teoria stessa.

Teoria in un minuto

Il teorema di Gödel è il risultato più compiuto della logica matematica. Ha importanti conseguenze filosofiche per i limiti della conoscenza e per la natura della mente. Il moderno sistema logico permette di esprimere enunciati aritmetici, ad esempio «Per ogni coppia di numeri “m” e “n”, “m + n” è uguale a “n + m”», e permette anche di scrivere gli assiomi di Peano con cui si possono dimostrare molte verità matematiche.

Si poneva allora la questione se tutte le verità aritmetiche potessero essere trattate in questo modo senza portare a false dichiarazioni. Kurt Gödel ha risposto negativamente a tale questione. Per prima cosa ha sviluppato una codificazione per mezzo della quale gli enunciati aritmetici hanno anche un’interpretazione in cui esistono da soli e per dimostrazioni di altri assiomi.

Poi ha trovato un enunciato aritmetica (K) che in base a questa codificazione non è dimostrabile”. Si dice che se (K) è dimostrabile, gli assiomi dimostrano un falso enunciato. Ma se (K) non è dimostrabile, allora l’enuncato è vero e c’è una verità che gli assiomi non possono provare.

Non solo possiamo trovare verità aritmetiche che gli assiomi di Peano non possono provare, ma anche individuare alcuni veri assiomi che contengono alcune verità non dimostrabili.

Questo è chiamato il “teorema di incompletezza” di Gödel e sembra porre un limite a ciò che i matematici possono sapere.

Riflessione

Alcuni filosofi, così come il fisico Roger Penrose, ritengono che il teorema di Gödel dimostri che il nostro cervello non funziona come un computer. Eseguire un programma è analogo a dimostrare un teorema.

Gödel ha dimostrato che per qualsiasi sistema assiomatico, l’affermazione della sua coerenza non può essere dimostrata dal sistema stesso.

Pertanto, se il nostro cervello funzionasse come una macchina sottoposta a un programma, non saremmo in grado di riconoscere la nostra coerenza. Tuttavia, siamo in grado di farlo, il che dimostra che il nostro cervello non funziona come il computer.

Biografia in 3 secondi

Kurt Gödel
Brno (Repubbica ceca), 1906 — Princeton (Stati Uniti), 1978

Roger Penrose
Colchester (Regno Unito), 1931 —

Battuta finale

Anche sostituendo il suo cervello con un computer, Kurt non è riuscito a dimostrare queste insondabili verità.