2. Il paradosso di Russell e la logica di Frege

Le 50 più grandi teorie filosofiche in 3 minuti. A. Linguaggio e logica

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L’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi contiene se stesso e allo stesso tempo non lo contiene.

Bertrand Russell ha rilevato un paradosso profondo e inspiegabile presente negli studi di Gottlob Frege del sistema logico. Quest’ultimo pensava di poter definire tutti i concetti della matematica e dimostrare tutte le sue leggi usando solo i principi della logica.

L’idea che la matematica possa essere ridotta alla sola logica si chiama logicismo. Se Frege lo avesse dimostrato, sarebbe stato la più grande conquista nella storia della filosofia.

Ma la sua versione del logicismo non ha trovato consensi. Uno dei principi usati per provare l’esistenza di numeri, funzioni e altri oggetti matematici è il seguente: per ogni predicato “è F(P)”, c’è un insieme di oggetti che sono F.

Ecco due esempi: “è un numero primo” che determina l’insieme dei numeri (1, 2, 3, 5, 7…) e “è un insieme” che designa l’insieme di tutti gli insiemi.

Nel 1903, Russell dimostrò che (P) si auto-contraddiceva, usando il seguente argomento: il predicato: “non contiene se stesso”. Con (P) c’è un insieme di insiemi — diciamo R — che non contengono se stessi. R è un membro di se stesso? Se è così, allora non lo è, e se non lo è, allora lo è. Bella contraddizione!

Fu un colpo terribile per Frege e la suo logica.

Ecco un paradosso simile al ragionamento di Russell: “C’è un barbiere che rade tutti e solo coloro che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?”. Se il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli.

Questo paradosso è facile da risolvere, basta accettare che un tale barbiere non esista.

Frege non poteva usare il metodo analogico per gli insiemi, in quanto utilizzava il suo principio stesso per dimostrare l’esistenza degli insiemi necessari alla matematica.

Bertrand Russell
Trellech (Gran Bretagna), 1872 — Penrhyndeudraeth (Gran Bretagna), 1970

Chi si fa la barba al barbiere, si rasa di meno o di più? In egual modo, chi si fa crescere la barba?

Testo di Barry Loewer

Laureatosi in storia a Firenze nel 1977, è entrato nell’editoria dopo essersi imbattuto in un computer Mac nel 1984. Pensò: Apple cambierà tutto. Così è stato.

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